10月转眼之间就过了，时间过的太快了，而我在十月净瞎忙，写篇博客的时间都没有，终于等到了11月第一个周末，才终于给自己找了个时间。
第一个问题是那个三门问题，以前在博弈论相关的书上看到过，后来便只记得答案了。现在看贝叶斯相关的东西，顺便拿出来复习下：
三门问题：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆车，当参赛者选择一扇门后，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率？
我们来看使用普通的条件概率来解决这个问题，我们定义C事件为参赛者打开这个门选择到一个车，定义S事件为主持人打开另一扇门选择一只羊，则
C事件：参赛者选中一个车。那么P(C)=1/3
S事件：主持人选中一个羊。那么P(S)=1
由于主持人始终知道哪个门后有羊，所以选择羊的概率是1。
那么我们要求的就是P(C/S），也就是在主持人选择一只羊之后，参赛者选择到车的概率，而P(C/S)=P(C∩S)/P(S)。
所以关键在于求P(C∩S)，即参赛者选中一个车时，主持人选中一个羊的概率。下图是所有选择的可能：
| 参赛者 | 主持人 | |
| 车 | 羊 | 羊 |
| 羊 | 车 | 羊 |
| 羊 | 羊 | 车 |
有图可知， P(C∩S ) =1/3
则 P(C/S)=P(C∩S )/P(S) =1/3
此时我们发现当主持人打开这个门后，选择到一个车概率仍然是1/3。和之前没有变化，可是如果这时参赛者换另一扇门那么选择到车概率就是2/3了，中奖的概率是以前的两倍。
其实之所以提出这个问题，是因为这个问题是标准的先验概率和后验概率的问题，也就是新
的事件发生后对先验概率的影响，所以用贝叶斯公式解这个题是最方便了。
贝叶斯解法：
如果用P(Car)代表你刚开始选中的门里有车的概率，用P(Sheep)代表主持人打开的门里是羊的概率，用|表示条件概率，那么由Bayes公式有：
| 其中P(Sheep | Car)表示在你选中了车的条件下，主持人打开的门里是羊的概率，概率显然是1。由前面的假设也显然有P(Car)=1/3，而P(Sheep)=1，所以直接求得 P(Car | Sheep)为1/3。即新事件对先验概率没有影响，仍然是1/3，如果此时参赛者换了另一个门的话，则选到车会变成2/3。 |
第二个问题是室友提出的一个有关relatively prime问题，
任取两个自然数，它们互素的概率是多少？
首先设任意两个自然数为a、b，它们互素的概率为p，设一自然数k，则k为a、b的公因子的概率为1/k^2 （k是a因子的概率是1/k，则k同时是a，b公因子的概率是1/k^2 。）
令a=m*k ，b=n*k ，则“m、n互素”的充分必要条件为“k是a、b的最大公因子”。（如果k不是a，b最大的公因子，则m，n必然还有其他的非1公因子，则m，n不互素）。
| 由于在k是a、b的公因子的前提下，m、n也等价于两个任意自然数，所以它们互素的概率也为p，即在k是a、b公因子的前提下，k是a、b最大公因子的概率为p。由于k不是a、b公因子的情况下，k是最大公因子的概率为零。所以根据全概率公式(P(A)=P(A | B1)*P(B1) + P(A | B2)*P(B2) + … + P(A | Bn)*P(Bn))，k是a、b最大公因子的总概率就为: |
P{k是a、b公因子}*P{k是a、b最大公因子/k是a、b公因子}=p/k^2 。
对于事件k是a、b最大公因子来说，任何两个自然数，必然存在最大公因子，我们需要做的穷举所有自然数即可(可以这样理解，只有一个数是最大公因子，它的概率是1，其他的数是最大公因子的概率都是0，所有数的概率加起来肯定还是1)，所以有
\begin{equation} \sum_{k=1,2,3…}\frac{p}{k^2}=1\end{equation}
求解得p等于6/π^2)(这里涉及到p级数的求和，方法是对一个周期函数展开成傅里叶级数形式，可以求得奇数项的和为π^2/8，进而求得自然数的和为π^2/6，具体参考高等数学教科书)。
这个题还有另一种解法
设任意两个自然数m，n，pk为所有素数的集合。一个自然数有因子pk的概率为1/pk 。m，n同时有因子pk的概率为1/pk^2 ，所以m，n不同时有因子pk的概率为1-(1/pk^2) 。m，n互素就是说，对于所有k=1，2，3……，m，n不同时有因子pk（这里k的含义是第几个素数，而pk就是那个相应的素数）。显然，这个概率为: \begin{equation} \prod_{k=1,2,3..}1-\frac{1}{pk^2}\end{equation} 由于k一直取到无穷大，所以就是对连乘式取极限。根据Euler_product_formula，则这个极限的倒数，等价于求$\sum_{k=1,2,3…}\frac{1}{k^2}$ 。这个连加的结果是π^2/6，所以所求概率为6/π^2 。
这里运用一个公式Euler_product_formula这个公式的证明也很有意思，具体可以看wiki。
解到这里，你可能会疑惑，上面为什么一定要用素数pk呢，能不能用自然数呢，即两个数为互素数的充要条件是，它们不同时有所有质数的公因子。能不能是它们不同时拥有所有自然数的公因子呢，这样算的话，概率是不是会变大？
其实概率不会变的。当然可以改成“不同时拥有所有自然数的公因子的两个数是互素数”，因为这个也是充要条件。但是这时候各个概率就不是独立的了，不能简单相乘相加。比如“拥有（或者不拥有）公因子2”和“拥有（或者不拥有）公因子4”两个事件不是独立的，而应该变成“拥有公因子2但没有公因子4”和“拥有公因子4”，这两个概率加起来，跟“拥有公因子2”就没有区别了。
第三个题是google 2012校招的笔试题，
从-2到2之间，任意取两个数，这个两个数之和大于1的概率是多少？
我们定义一个二维的参数空间，其中任意一点（x，y）表示我们的一个解，如图
这个数之和则可以用函数z=x+y表示，题目是大于1，则函数是x+y>1。则两个数之和大于1的概率是阴影面积除以总的解空间的面积，使用小学数学知识，得9/32。
解完这个题后，又有人提出了一个类似的题目，对于任意一根棍子，随机找两个点将棍子分成三段，这三段能组成三角形的概率是多少？
这道题被我秒解。过程如下： 设任意两段棍子为x和y，滚在总长度为a则 a/2>x>0，a/2>y>0，a>x+y 则根据三角形的两条边和大于第三边得， x+y>a-x-y即x+y>a/2 将这四个不等式放在坐标空间就是
青色的阴影面积就是所有x，y可以组成三角形的区域，组成的面积是a^2/8。 再看x和y所有能取到的值的集合，其实是 a>x+y 所限定的区域，是红棕色的阴影面积，即a^2/2两者相除，得到这三段能组成三角形的概率是1/4。
参考资料：
http://www.ruanyifeng.com/blog/2011/08/bayesian_inference_part_one.html